Agustus 2021

Kamis, 05 Agustus 2021

Geometric Distribution & Poisson Distribution - PART 18

Geometric Distribution

Geometric Distribution merupakan suatu discrete probability distribution yang memenuhi kriteria berikut:

Percobaan (trial) akan dilakukan berulang kali sampai mendapatkan outcome success.
Setiap percobaan (trial) adalah independent terhadap trials lainnya.
Memiliki nilai probability success (p) yang sama untuk tiap trial.
Random variable x merepresentasikan banyaknya trials yang dilakukan sampai mendapati kondisi success.

Geometric Distribution Formula

$P(x) = p \times q^{x-1}$ q = 1-p

Geometric Distribution contoh

Diketahui seorang pemain basket sejauh ini mencatat keberhasilan 75% dalam melakukan free throws. Berapa probability pemain tersebut mendapatkan point free throw pertamanya pada pelemparan ketiga atau keempat?

$p=0.75\\ q=0.25$ $\begin{equation} \begin{split} P(3) &= 0.75 \times 0.25^{3-1}\\ &\approx 0.046875\\ \\ P(4) &= 0.75 \times 0.25^{4-1}\\ &\approx 0.011719 \end{split} \end{equation}$ $\begin{equation} \begin{split} P(3\ or\ 4) &= P(3) + P(4)\\ &\approx 0.059 \end{split} \end{equation}$

Poisson Distribution

Poisson Distribution merupakan suatu discrete probability distribution yang memenuhi kriteria berikut:

Random variable x merepresentasikan banyaknya kemunculan suatu event dalam interval waktu tertentu.
Nilai probability untuk kemunculan event adalah sama untuk setiap interval.
Jumlah kemunculan event pada suatu interval adalah independent terhadap jumlah kemunculan event pada interval lainnya.

Poisson Distribution Formula

$P(x) = \frac{\mu^{x}\times e^{- \mu}}{x!}$

Poisson Distribution contoh

Diketahui rata-rata jumlah kasus kecelakaan lalu lintas per bulan yang terjadi di suatu ruas jalan toll adalah 3 kasus. Berapa nilai probability untuk mendapatkan 4 kasus kecelakaan dalam satu bulan tertentu pada ruas jalan toll tersebut?

$x = 4\\ \mu = 3$ $P(4) = \frac{3^{4}\times e^{- 3}}{4!} \approx 0.168$

Geometric Distribution & Poisson Distribution - PART 17

Geometric Distribution

Geometric Distribution merupakan suatu discrete probability distribution yang memenuhi kriteria berikut:

Percobaan (trial) akan dilakukan berulang kali sampai mendapatkan outcome success.
Setiap percobaan (trial) adalah independent terhadap trials lainnya.
Memiliki nilai probability success (p) yang sama untuk tiap trial.
Random variable x merepresentasikan banyaknya trials yang dilakukan sampai mendapati kondisi success.

Geometric Distribution Formula

$P(x) = p \times q^{x-1}$ q = 1-p

Poisson Distribution

Poisson Distribution merupakan suatu discrete probability distribution yang memenuhi kriteria berikut:

Random variable x merepresentasikan banyaknya kemunculan suatu event dalam interval waktu tertentu.
Nilai probability untuk kemunculan event adalah sama untuk setiap interval.
Jumlah kemunculan event pada suatu interval adalah independent terhadap jumlah kemunculan event pada interval lainnya.

Poisson Distribution Formula

$P(x) = \frac{\mu^{x}\times e^{- \mu}}{x!}$

contoh :

Diketahui rata-rata jumlah kasus kecelakaan lalu lintas per bulan yang terjadi di suatu ruas jalan toll adalah 3 kasus.Berapa nilai probability untuk mendapatkan 4 kasus kecelakaan dalam satu bulan tertentu pada ruas jalan toll tersebut?

$x = 4\\ \mu = 3$ $P(4) = \frac{3^{4}\times e^{- 3}}{4!} \approx 0.168$

Distribusi Binomial Binomial Distribution - PART 16

Binomial Experiments

Binomial experiment merupakan suatu probability experiment yang memenuhi kriteria berikut:

Memiliki jumlah percobaan (trials) yang tetap dan setiap trial independent terhadap trials lainnya.
Setiap trial hanya memiliki dua kemungkinan outcomes; biasa dikategorikan sebagai success (S) atau failure (F).
Memiliki nilai probability success yang sama untuk tiap trial.
Random variabel x merepresentasikan jumlah kemunculan success dalam suatu experiment.

Contoh :

Suatu teknik pembibitan ikan lele memiliki tingkat keberhasilan 85%. Teknik ini lalu diterapkan pada 8 kolam ikan (empang). Nilai random variable merepresentasikan banyaknya empang yang berhasil melakukan pembibitan. Apakah experiment ini bisa dikategorikan sebagai binomial experiment?

$n=8\\ p=0.85\\ q=1-0.85=0.15\\ x=0,1,2,3,4,5,6,7,8$

Binomial Probability Formula

Terdapat beberapa cara untuk menghitung probability dari x success dari sejumlah n trials pada suatu binominal experiment: Tree Diagram, Multiplication Rule

Binomial Probability Formula.

$\begin{equation} \begin{split} P(x) & =\ _{n}C_x \times p^{x} \times q^{n-x}\\ & = \frac{n!}{(n-x)!\times x!} \times p^{x} \times q^{n-x} \end{split} \end{equation}$

Binomial Probability contoh Tree Diagram

Diketahui peluang keberhasilan untuk suatu operasi otot tendon adalah 90%. Bila dilakukan operasi terhadap 3 orang pasien; berapa probability untuk mendapatkan keberhasilkan tepat pada 2 orang pasien?

$\begin{equation} \begin{split} P(2) &= 3 \times \frac{81}{1000}\\ &= 0.243 \end{split} \end{equation}$

Binomial Probability contoh Formula

$\begin{equation} \begin{split} n &= 3\\ p &= \frac{9}{10}\\ q &= \frac{1}{10}\\ x &= 2 \end{split} \end{equation}$ $\begin{equation} \begin{split} P(x) &= \frac{n!}{(n-x)! \times x!} \times p^{x} \times q^{n-x}\\ &= \frac{3!}{(3-2)! \times 2!} \times \left (\frac{9}{10} \right )^{2} \times \left (\frac{1}{10} \right )^{3-2} \\ &= 0.243 \end{split} \end{equation}$

Binomial Probability: Mean, Variance & Standard Deviation

Mean

$\mu = n \times p$

Variance

$\sigma^2 = n \times p \times q$

Standard Deviation
$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt {n \times p \times q}$

Example Mean, Variance & Standard Deviation

$n=30;\ \ p=0.56;\ \ q=0.44$

Dari hasil pendataan, diperoleh bahwa 56% cuaca harian di Kota Malang dalam satu tahun adalah berawan.

Carilah mean dan standard deviation yang merepresentasikan jumlah hari di Kota Malang dengan cuaca harian berawan pada Bulan Juni!

$\begin{equation} \begin{split} \mu &= n \times p\\ &= 30 \times 0.56\\ &= 16.8 \end{split} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{split} \sigma^2 &= n \times p \times q\\ &= 30 \times 0.56 \times 0.44\\ &\approx 7.4 \end{split} \end{equation}$ $\begin{equation} \begin{split} \sigma &= \sqrt{\sigma^2} \\ &= \sqrt{n \times p \times q}\\ &= \sqrt{30 \times 0.56 \times 0.44}\\ &\approx 2.7 \end{split} \end{equation}$

Distribusi Probabilitas Probability Distribution - PART 15

Random Variables

Random variable x merepresentasikan suatu nilai numerik yang berasosiasi dengan setiap outcome dari suatu probability experiment.

Kata “Random” mengindikasikan bahwa nilai x ditentukan secara kebetulan (by chance).

Discrete: Semua kemungkinan outcomes dapat dihitung (countable) atau memiliki batasan (finite)
Continuous: Semua kemungkinan outcomes tidak dapat dihitung (uncountable), umumnya direpresentasikan dengan nilai interval.

contoh:

Discrete

Random variable x merepresentasikan jumlah wisudawan dari Fakultas Teknologi Informasi di tahun ini.

Continuous

Random variable x merepresentasikan volume minyak goreng yang ditampung dalam sebuah tangki berkapasitas 150 Liter.

Discrete Probability Distribution

Suatu Discrete Probability Distribution mendata setiap kemungkinan nilai random variable beserta probabilitasnya.

Setiap Discrete Probability Distribution harus memenuhi kedua kondisi berikut:

$0 \le P(x) \le 1$ $\sum P(x) = 1$

Membangun Discrete Probability Distributions

Bangun frequency distribution untuk seluruh outcome
Hitung total jumlah kemunculan (sum of the frequencies)
Hitung probability untuk setiap outcome
Pastikan kedua syarat untuk suatu frequency distribution terpenuhi

Discrete Probability Distributions contoh 1:

Dilakukan pendataan tingkat kepuasan pelanggan untuk suatu mini market menggunakan likert scale dengan rentang mulai dari 1 (sangat tidak puas) sampai dengan 5 (sangat puas). Dari frequency distribution yang terbentuk, buatlah discrete probability distribution-nya!

\

Mean untuk Discrete Random Variable

Nilai mean untuk suatu discrete random variable dapat diformulasikan sebagai berikut:

$\mu = \sum x P(x)$

Contoh :

Berdasarkan discrete probability distribution dari pendataan tingkat kepuasan pelanggan untuk suatu mini market menggunakan likert scale dengan rentang mulai dari 1 (sangat tidak puas) sampai dengan 5 (sangat puas); hitunglah nilai mean untuk score-nya!

Standard Deviation untuk Discrete Random Variable

Nilai variance dan standard deviation untuk suatu discrete random variable dapat diformulasikan sebagai berikut:

$\sigma^{2} = \sum (x-\mu)^2 P(x)$ $\sigma = \sqrt{\sigma^{2}} = \sqrt{\sum (x-\mu)^2 P(x)}$

contoh :

Berdasarkan discrete probability distribution dari pendataan tingkat kepuasan pelanggan untuk suatu mini market menggunakan likert scale dengan rentang mulai dari 1 (sangat tidak puas) sampai dengan 5 (sangat puas); hitunglah nilai standard deviation-nya!

$\sigma = \sqrt{\sigma^{2}} = \sqrt{1.6164} = 1.3$

Expected Value

Nilai mean dari suatu random variable merepresentasikan apa yang bisa kita harapkan untuk diperoleh dari ribuan kali percobaan (trials). Ini juga dikenal dengan istilah expected value.

$E(x) = \mu = \sum x P(x)$

Nilai probability tidak mungkin negatif, tetapi nilai expected value memungkinkan untuk negatif
Di banyak kasus, nilai expected value 0 dapat memiliki makna tersendiri;

Untuk kasus permainan: fair game
Untuk kasus loss & profit analysis: break-even point

contoh :

Dalam suatu undian berhadiah, terjual sebanyak 1500 tickets. Harga untuk tiap ticket $2 dan tersedia empat hadiah untuk undian ticket: $498, $248, $148, dan $73. Kalau kita membeli satu buah ticket; berapa expected value untuk memenangkan undian (gain)?

$\begin{equation} \begin{split} E(x) &= \sum x P(x)\\ &= 498 \times \frac{1}{1500} + 248 \times \frac{1}{1500} + 148 \times \frac{1}{1500} + 73 \times \frac{1}{1500} + (-2) \times \frac{1496}{1500} \\ &= -1.35 \end{split} \end{equation}$

Permutasi dan Kombinasi dengan Python - PART 14

Permutasi (Permutations)

Permutasi adalah pengaturan urutan penyusunan sekumpulan objek unik (tidak mengandung duplikasi); Permutasi dari sekumpulan n objek dapat diformulasikan sebagai faktorial dari n.

$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times(n-3) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$

Kasus khusus

contoh 1

Berapa banyak kemungkinan cara untuk melakukan pengurutan angka pada baris pertama?

$\begin{equation} \begin{split} 9! &= 9\times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\\ &= 362,880 \end{split} \end{equation}$